Çarpanlara ayırma, denklem, eşitsizlik ve sadeleştirme sorularının temelidir. Aşağıdaki özdeşlikleri ezberlemek hem zaman kazandırır hem hata payını düşürür.
Ortak çarpan parantezine alma
- Her terimde ortak olan çarpan parantez dışına alınır.
- Örnek: 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
Temel özdeşlikler
- İki kare farkı: a² − b² = (a − b)(a + b)
- Tam kare: (a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b²
- İki küp toplamı: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
- İki küp farkı: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- Küp açılımı: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ve (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
- Üç terimin karesi: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
Üç terimli ifadelerin çarpanlara ayrılması
- x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) kuralı kullanılır.
- Örnek: x² + 7x + 12 → toplamı 7, çarpımı 12 olan iki sayı 3 ve 4 → (x + 3)(x + 4).
- Örnek: x² − 5x + 6 → toplamı −5, çarpımı 6 olan sayılar −2 ve −3 → (x − 2)(x − 3).
Gruplandırma yöntemi
- Terimleri gruplayıp her gruptan ortak çarpan çıkarılır.
- Örnek: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y).
Rasyonel ifadeleri sadeleştirme
- Pay ve payda çarpanlarına ayrılır, ortak çarpanlar sadeleştirilir.
- Örnek: (x² − 9) / (x − 3) = (x − 3)(x + 3) / (x − 3) = x + 3 (x ≠ 3).
Pratik ipuçları
- Hızlı hesap: 99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
- a² − b² özdeşliği, tek tek çarpma yerine büyük sayılarda işlem kolaylığı sağlar: 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2 · 200 = 400.
- a + b ve a·b verilince a² + b²: a² + b² = (a + b)² − 2ab.
- a − b ve a·b verilince a² + b²: a² + b² = (a − b)² + 2ab.
Sınavda dikkat
- Denklem çözerken önce ortak çarpan, sonra özdeşlik arayın.
- İki kare toplamı (a² + b²) gerçek sayılarda çarpanlarına ayrılmaz; sık yapılan hata.
- Kök ve üslü ifadelerde a = √x gibi değişken değiştirerek özdeşlik uygulanabilir.
Sık sorulan sorular
İki kare farkı formülü nedir?
a² − b² = (a − b)(a + b).
x² + 7x + 12 nasıl çarpanlara ayrılır?
Toplamı 7, çarpımı 12 olan 3 ve 4 bulunur: (x + 3)(x + 4).
a² + b² nasıl bulunur?
(a + b)² − 2ab formülüyle ya da (a − b)² + 2ab ile.
99² kaçtır?
(100 − 1)² = 9801.