Geometri sorularının büyük çoğunluğu üçgen bilgisi üzerine kuruludur. Aşağıdaki kuralları ezberlemek, birçok soruyu doğrudan çözmenizi sağlar.
Açı temelleri
- Doğru açı: 180°, dik açı: 90°, tam açı: 360°.
- Bütünler açılar: toplamları 180° olan iki açı. Tümler açılar: toplamları 90° olan iki açı.
- Ters açılar (kesişen iki doğrunun oluşturduğu karşılıklı açılar) eşittir.
- Paralel iki doğruyu kesen bir doğruda: yöndeş, iç ters ve dış ters açılar eşittir; karşı durumlu (iç ve dış) açılar bütünlerdir.
Üçgenin açıları
- İç açılar toplamı = 180°.
- Dış açı: Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
- Dış açıların toplamı = 360°.
- Bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar büyüktür (ve tersi).
Üçgen eşitsizliği
- Bir üçgenin herhangi iki kenarının farkının mutlak değeri üçüncü kenardan küçük, toplamı ise büyüktür:
|a − b| < c < a + b
- Örnek: kenarları 4 ve 9 olan bir üçgenin üçüncü kenarı 5 < c < 13 aralığındadır.
Üçgen çeşitleri
- Eşkenar üçgen: üç kenar ve üç açı eşit; her açı 60°. Alanı: a²√3 / 4.
- İkizkenar üçgen: iki kenar ve bu kenarların karşısındaki iki açı (taban açıları) eşit.
- Çeşitkenar üçgen: üç kenar da farklı.
- Dik üçgen: bir açısı 90°.
Dik üçgen ve Pisagor
- Pisagor bağıntısı: a² + b² = c² (c hipotenüs, yani dik açının karşısındaki kenar).
- Pisagor üçlüleri: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 (ve katları).
- Özel dik üçgenler:
- 45°-45°-90°: kenarlar k, k, k√2. - 30°-60°-90°: kenarlar k, k√3, 2k (30°’nin karşısı k, 60°’nin karşısı k√3, hipotenüs 2k).
Alan formülleri
- Genel: Alan = (taban × yükseklik) / 2.
- Dik üçgen: Alan = (dik kenarların çarpımı) / 2.
- Eşkenar üçgen: Alan = a²√3 / 4.
- İki kenar ve aralarındaki açı verilmişse: Alan = (1/2) · a · b · sin(açı).
- Heron formülü: Alan = √[u(u−a)(u−b)(u−c)], u çevrenin yarısı.
Sınavda dikkat
- 30-60-90 ve 45-45-90 üçgenlerini görünce kenar oranlarını hemen yazın; zaman kazandırır.
- “Üçgenin üçüncü kenarı kaç farklı tam sayı değeri alabilir?” sorularında üçgen eşitsizliği kullanılır; uç değerler dahil değildir.
- Dış açı sorularında “iki iç açının toplamı” kuralı en hızlı yoldur.
Sık sorulan sorular
Bir üçgenin iç açıları toplamı kaçtır?
180°.
Pisagor bağıntısı nedir?
Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: a² + b² = c².
30-60-90 üçgeninde kenar oranları nedir?
Kısa kenar k ise diğer dik kenar k√3, hipotenüs 2k olur.
Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur?
a²√3 / 4 formülüyle (a, kenar uzunluğu).